পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (অধ্যায় ২)

যেসব ভৌত রাশির সম্পূর্ণ প্রকাশের জন্য শুধু মানের প্রয়োজন হয়, দিকের প্রয়োজন হয় না, তাদের স্কেলার রাশি বলে। (উদাহরণ: ভর, দৈর্ঘ্য, সময়, দ্রুতি)

যেসব ভৌত রাশির সম্পূর্ণ প্রকাশের জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় এবং যারা ভেক্টর যোগের সূত্র মেনে চলে, তাদের ভেক্টর রাশি বলে। (উদাহরণ: সরণ, বেগ, বল)

যে ভেক্টরের মান এক (1) একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে সেই ভেক্টরের দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

\( \hat{A} = \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} \)

যে ভেক্টরের মান শূন্য (০), তাকে শূন্য ভেক্টর বলে। এর কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই। চিহ্ন: \( \vec{0} \)

দুটি ভেক্টরের মান ও দিক যদি একই হয়, তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলা হয়।

দুটি ভেক্টরের মান সমান কিন্তু দিক ঠিক বিপরীত হলে, একটিকে অপরটির বিপরীত বা ঋণ ভেক্টর বলা হয়। \( \vec{A} \) এর বিপরীত হলো \( -\vec{A} \)

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দিয়ে নির্দেশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে। (এটি অবস্থান ভেক্টরের অপর নাম)।

সময়ের সাথে কোনো বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তনকে যে ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে সরণ ভেক্টর বলে।

দুটি ভেক্টরের গুণফল যদি একটি স্কেলার রাশি হয়, তবে সেই গুণনকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলে।

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta \)

দুটি ভেক্টরের গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয়, তবে সেই গুণনকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলে।

\( |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta \)

এটি ভেক্টর গুণফলের দিক নির্ণয়ের একটি নিয়ম। \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) ভেক্টর দুটি যে সমতলে অবস্থিত, সে সমতলের লম্ব বরাবর একটি ডানহাতি স্ক্রু রেখে প্রথম ভেক্টরের দিক থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরালে স্ক্রুটি যে দিকে অগ্রসর হয়, সে দিকই হবে ভেক্টর গুণফলের দিক।

দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।

সমজাতীয় এবং অশূন্য মানের দুটি ভেক্টর যদি একই দিকে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে পরস্পরের সদৃশ ভেক্টর বলে।

সমজাতীয় ও অশূন্য মানের দুটি ভেক্টর যদি বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে বিসদৃশ ভেক্টর বলে।

দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সমতলে অবস্থান করে, তবে তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলা হয়।

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় X, Y এবং Z অক্ষ বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর (\( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \)) বিবেচনা করা হয়, তাদের আয়ত একক ভেক্টর বলে।

যেসব ভেক্টরের মান শূন্য নয়, তাদের প্রকৃত ভেক্টর বলা হয়।

যেসব ভেক্টর কোনো ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করে এবং যাদের দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়, তাদের অক্ষীয় ভেক্টর বলে। (উদাহরণ: টর্ক, কৌণিক বেগ)

যেসব ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট সূচনা বিন্দু থাকে এবং যারা দৈনন্দিন গতির সাথে সম্পর্কিত, তাদের পোলার ভেক্টর বলে। (উদাহরণ: সরণ, বল)

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট নয়, অর্থাৎ যাকে যেকোনো জায়গায় সমান্তরালভাবে স্থানান্তর করা যায়, তাকে স্বাধীন ভেক্টর বলে।

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট, অর্থাৎ যাকে স্থানান্তর করা যায় না, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে।

দুই বা ততোধিক ভেক্টরের আদিবিন্দু বা পাদবিন্দু যদি একই হয়, তবে তাদেরকে সহ-আদি ভেক্টর বলা হয়।

কোনো ভেক্টরের বিপ্রতীপ ভেক্টর হলো এমন একটি ভেক্টর যার দিক একই থাকে কিন্তু মান মূল ভেক্টরের মানের বিপরীত হয়।

\( \vec{A} \) এর বিপ্রতীপ = \( \dfrac{1}{A}\hat{A} \)

দুটি অশূন্য ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে, তাদের অর্থোগোনাল ভেক্টর বলা হয়। এক্ষেত্রে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।

যে ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশের মাধ্যমে কোনো ভেক্টর স্পেসের যেকোনো ভেক্টরকে প্রকাশ করা যায়, তাদের ভিত্তি ভেক্টর বলে।

দুই বা ততোধিক ভেক্টরের সমন্বয়ে (যোগ বা বিয়োগের ফলে) যে নতুন ভেক্টর পাওয়া যায়, তাকে লব্ধি ভেক্টর বলে।

একটি ভেক্টরকে দুই বা ততোধিক ভেক্টরে বিভক্ত করা হলে, বিভক্ত অংশগুলোকে মূল ভেক্টরের উপাংশ বলা হয়।

একটি ভেক্টরকে দুই বা ততোধিক ভেক্টরে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টরের বিভাজন বলা হয়।

একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ হলো প্রথম ভেক্টরের উপর দ্বিতীয় ভেক্টরের ছায়ার দৈর্ঘ্য।

\( \vec{B} \) ভেক্টরের উপর \( \vec{A} \) ভেক্টরের অভিক্ষেপ ভেক্টর হলো এমন একটি ভেক্টর যার মান হলো \( \vec{A} \) এর উপাংশের মান এবং দিক হলো \( \vec{B} \) এর দিক।

দুটি ভেক্টরকে কোনো ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশ করলে, ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে তাদের লব্ধি নির্দেশ করবে।

দুটি ভেক্টরকে কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা নির্দেশ করলে, ঐ বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত কর্ণটি তাদের লব্ধি নির্দেশ করবে।

কতগুলো ভেক্টরকে বিভিন্ন স্কেলার রাশি দিয়ে গুণ করে যোগ করলে যে নতুন ভেক্টর পাওয়া যায়, তাকে ঐ ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ বলা হয়।

যদি একাধিক ভেক্টরের মধ্যে অন্তত একটিকে অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তবে ভেক্টরগুলোকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বলা হয়।

যদি একাধিক ভেক্টরের কোনোটিকেই অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা না যায়, তবে ভেক্টরগুলোকে রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয়।

\( \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \)

\( (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) \)

\( \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} \)

\( \vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \)

তিনটি ভেক্টরের মধ্যে দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফলের সাথে তৃতীয় ভেক্টরের ডট গুণফলকে স্কেলার ত্রিগুণন বলে। এর ফল একটি স্কেলার রাশি।

\( \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) \)

তিনটি ভেক্টরের মধ্যে দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফলের সাথে তৃতীয় ভেক্টরের ক্রস গুণফলকে ভেক্টর ত্রিগুণন বলে। এর ফল একটি ভেক্টর রাশি।

\( \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) \)

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি একতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে, প্রতিটি বলের মান অপর দুটি বলের অন্তর্গত কোণের সাইন (sine) এর সমানুপাতিক হয়।

কোনো অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুতে যদি একটি স্কেলার রাশির মান নির্দিষ্ট থাকে, তবে সেই অঞ্চলকে একটি স্কেলার ক্ষেত্র বলা হয়।

কোনো অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুতে যদি একটি ভেক্টর রাশি সংশ্লিষ্ট থাকে, তবে সেই অঞ্চলকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র বলা হয়।

এটি একটি ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (\( \vec{\nabla} \)), যা দ্বারা গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স ও কার্ল নির্ণয় করা হয়।

\( \vec{\nabla} = \hat{i}\dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\dfrac{\partial}{\partial z} \)

কোনো স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার ও দিক নির্দেশকারী ভেক্টরকে ঐ ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট বলা হয়।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ডাইভারজেন্স ঐ বিন্দুর চারপাশের উৎস বা সিঙ্কের ঘনত্ব নির্দেশ করে। এটি একটি স্কেলার রাশি।

\( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0 \) হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে কার্ল ঐ বিন্দুর চারপাশে ভেক্টরটির ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে। এটি একটি ভেক্টর রাশি।

\( \vec{\nabla} \times \vec{A} = 0 \) হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল/সংরক্ষণশীল।

এটি একটি স্কেলার ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, যা ডেল অপারেটরের ডাইভারজেন্স (\( \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \)) বা \( \nabla^2 \) হিসেবে প্রকাশ করা হয়।

কোনো সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে একটি ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করা যায়, যার মান ঐ তলের ক্ষেত্রফলের সমান এবং দিক ঐ তলের সাথে লম্ব বরাবর হয়।

যেকোনো সমতলের উপর অঙ্কিত লম্বকে ঐ তলের তল ভেক্টর বলে। (এটি ভেক্টর ক্ষেত্রফলের অনুরূপ ধারণা)।

একটি বস্তুর সাপেক্ষে অন্য একটি বস্তুর বেগকে আপেক্ষিক বেগ বলে।

কোনো অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান কণার ব্যাসার্ধ ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট সময়ে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে কৌণিক সরণ বলে।

কোনো অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান কণার অবস্থান ভেক্টর এবং রৈখিক ভরবেগের ভেক্টর গুণফলকে কৌণিক ভরবেগ বলে। (\( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \))।

কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত বলের ঘূর্ণন ক্রিয়াকে টর্ক বলে। এটি প্রসঙ্গবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণফলের সমান। (\( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \))।