গতিবিদ্যা — সূত্রাবলী (Formula)

▸ সমত্বরণে সরলরৈখিক গতি

সমত্বরণ সমীকরণ ১

$$v = u + at$$

v = শেষ বেগ, u = আদি বেগ, a = ত্বরণ, t = সময়

সমত্বরণ সমীকরণ ২

$$s = ut + \frac{1}{2}at^2$$

s = সরণ। u = 0 হলে $s = \frac{1}{2}at^2$

সমত্বরণ সমীকরণ ৩

$$v^2 = u^2 + 2as$$

সময়-নিরপেক্ষ সম্পর্ক। বেগ ও সরণের মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক।

গড় বেগ দিয়ে সরণ

$$s = \frac{(u + v)}{2} \cdot t$$

সমত্বরণে গড় বেগ = $\frac{u+v}{2}$

n-তম সেকেন্ডে সরণ

$$s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$$

কেবল n-তম সেকেন্ডে (n−1 থেকে n সেকেন্ড পর্যন্ত) অতিক্রান্ত সরণ।

ত্বরণের সংজ্ঞা

$$a = \frac{v - u}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

ঋণাত্মক ত্বরণ = মন্দন (retardation)।

▸ মুক্ত পতন ও উল্লম্ব গতি

মুক্ত পতন

$$h = \frac{1}{2}gt^2,\quad v = gt$$

আদি বেগ u = 0 হলে। g = 9.8 m/s²

পতনকালীন বেগ (উচ্চতা থেকে)

$$v = \sqrt{2gh}$$

h উচ্চতা থেকে ছেড়ে দিলে মাটি স্পর্শের মুহূর্তে বেগ।

পতন সময়

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

h উচ্চতা থেকে পড়তে কত সময় লাগে।

উল্লম্ব নিক্ষেপ: সর্বোচ্চ উচ্চতা

$$H_{max} = \frac{u^2}{2g}$$

শীর্ষবিন্দুতে বেগ শূন্য হয়।

উল্লম্ব নিক্ষেপ: বায়ু-কাল

$$T = \frac{2u}{g}$$

আরোহণ ও অবরোহণ সময় সমান, প্রতিটি $t = \frac{u}{g}$।

উল্লম্ব নিক্ষেপ: যেকোনো সময়ে বেগ

$$v = u - gt$$

ওপরে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বেগ সময়ের সাথে কমে।

▸ প্রক্ষেপণ গতি (Projectile Motion)

প্রক্ষেপণ: সর্বোচ্চ সীমা

$$H = \frac{u^2\sin^2\theta}{2g}$$

θ = 90° এ H সর্বোচ্চ হয়।

প্রক্ষেপণ: পাল্লা

$$R = \frac{u^2\sin 2\theta}{g}$$

θ = 45° এ সর্বোচ্চ পাল্লা। পরিপূরক কোণে পাল্লা সমান।

প্রক্ষেপণ: বিমান কাল

$$T = \frac{2u\sin\theta}{g}$$

শীর্ষে পৌঁছাতে সময় $t = \frac{u\sin\theta}{g}$

প্রক্ষেপণ: যেকোনো সময়ে অবস্থান

$$x = u\cos\theta \cdot t$$ $$y = u\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

অনুভূমিক বেগ $u\cos\theta$ সর্বদা স্থির থাকে।

প্রক্ষেপণ: গতিপথ (Trajectory)

$$y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}$$

এটি একটি পরাবৃত্ত (parabola) সমীকরণ।

প্রক্ষেপণ: সর্বোচ্চ পাল্লা ও উচ্চতার সম্পর্ক

$$R_{max} = \frac{u^2}{g} = 4H$$

θ = 45° এ প্রযোজ্য। সর্বোচ্চ পাল্লা = সর্বোচ্চ উচ্চতার ৪ গুণ।

অনুভূমিক প্রক্ষেপণ (θ = 0°)

$$x = ut,\quad y = \frac{1}{2}gt^2$$

অনুভূমিক বেগ u স্থির, উল্লম্বে মুক্ত পতনের মতো।

প্রক্ষেপণ: লব্ধ বেগ

$$v = \sqrt{(u\cos\theta)^2 + (u\sin\theta - gt)^2}$$

যেকোনো সময়ে বেগের মান।

▸ বৃত্তীয় গতি (Circular Motion)

কেন্দ্রমুখী ত্বরণ

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

সর্বদা কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে।

কেন্দ্রমুখী বল

$$F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$$

m = ভর, r = ব্যাসার্ধ।

কৌণিক বেগ

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

T = পর্যায়কাল, f = কম্পাঙ্ক।

রৈখিক ও কৌণিক বেগের সম্পর্ক

$$v = r\omega$$

r = ব্যাসার্ধ। একই ω-তে বড় r হলে v বেশি।

পর্যায়কাল ও কম্পাঙ্ক

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega},\quad f = \frac{1}{T}$$

কৌণিক গতির সমীকরণ

$$\omega = \omega_0 + \alpha t$$ $$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

α = কৌণিক ত্বরণ। সরলরৈখিক সমীকরণের অনুরূপ।

▸ আপেক্ষিক গতি (Relative Motion)

আপেক্ষিক বেগ

$$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$$

একই দিকে: $v_{rel} = v_A - v_B$। বিপরীত দিকে: $v_{rel} = v_A + v_B$।

নদী পারাপার: লব্ধ বেগ

$$v_{res} = \sqrt{v_{boat}^2 + v_{river}^2}$$

নৌকার বেগ স্রোতের সাথে লম্বভাবে ধরলে প্রযোজ্য।

নদী পারাপার: সরাসরি পারের কোণ

$$\sin\phi = \frac{v_{river}}{v_{boat}}$$

স্রোতের বিপরীতে φ কোণে নৌকা চালালে সরাসরি পার হওয়া যায়।

▸ লেখচিত্র ও বিবিধ সম্পর্ক

v–t লেখচিত্র: ঢাল ও ক্ষেত্রফল

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t},\quad s = \text{ক্ষেত্রফল}$$

v-t লেখের ঢাল = ত্বরণ। নিচের ক্ষেত্রফল = সরণ।

x–t লেখচিত্র: ঢাল

$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

x-t লেখের ঢাল = তাৎক্ষণিক বেগ। সমবেগে সরলরেখা।

চাপ-দৈর্ঘ্য

$$s = r\theta \quad (\theta \text{ রেডিয়ানে})$$

θ ডিগ্রিতে থাকলে: $\theta_{rad} = \theta° \times \frac{\pi}{180}$

Galileo-র পতন অনুপাত

$$s_1 : s_2 : s_3 : \cdots = 1 : 3 : 5 : \cdots$$

পরপর প্রতি সেকেন্ডে সরণের অনুপাত = বিজোড় সংখ্যার অনুপাত।

গড় দ্রুতি

$$\bar{v}_{speed} = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}}$$

দ্রুতি (speed) স্কেলার; বেগ (velocity) ভেক্টর। দ্রুতি ≥ |বেগ|।

Back to Chapter